Allgemeine Form

$$
\begin{align}
f(t)=S+\big(f(0)-S\big)e^{-kt}
\end{align}
$$
Das ist die allgemeine Form des begrenzten Wachstums.
- $S$ ist die Sättigungsgrenze, welche die Asymptote markiert. Also eine Funktion, die sich der des begrenztes Wachstum annähert. So wird in dem Beispiel unten die Funktion niemals y=10 erreichen. Sie nähert sich eben an.
- $f(0)$ ist der Anfangsbestand
- $k$ ist der Wachstumsfaktor der bestimmt, wie schnell sich die Funktion der Sättigungsgrenze annähert.

Dazugehörige Funktionsgleichung:
$$
\begin{align}
f(x)=10+(4-10)e^{-0,5x}
\end{align}
$$

> [!question] Wann Wachstum, wann Zerfall?
> Wenn die Funktion nach dem Wert für die Sättigungsgrenze ein positives Vorzeichen aufweist, dann ist es ein begrenzter Zerfall, wenn das Vorzeichen negativ ist, ein begrenztes Wachstum.
> $$
> \begin{align}
> 70{\color{OliveGreen}{+}}50\cdot e^{-0,2x} \Longrightarrow \text{begrenztes Zerfall} \\ \\
> 10+(4-10)\cdot e^{-0,5} \Longrightarrow 10{\color{OliveGreen}{-}}6\cdot e^{-0,5} \Longrightarrow \text{begrenztes Wachstum}
> \end{align}$$