Funktionsgleichung Bestimmen
Die Funktionsgleichung kann man auf zwei Wege bestimmen:
Im Kopf:
Aufgabenstellung
Bestimmen sie die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Wachstumsprozesses einer Bakterienprobe. Es herrscht ein Anfangsbestand von 200 Bakterien, welche sich stündlich um 20% vermehren.
Jetzt kann man zusammentragen, was man über die Funktionsgleichung weiß:
- Anfangsbestand ($a$) = 200
- Wachstumsfaktor ($b$) = ?
Den Wachstumsfaktor kann man mit folgender Formel errechnen:
$$
\begin{align}
1+\frac{\%}{100}
\end{align}
$$
Das bedeutet unser Wachstumsfaktor wäre hier $1+\frac{20}{100}$, also $1,2$. Nun kann man das alles in die allgemeine Funktionsgleichung eintragen:
$$
\begin{align}
f(x)&=a\cdot b^{x} &&|\text{Werte eintragen} \\ \\
f(x)&=200\cdot 1,2^{x}
\end{align}
$$
Und das ist auch schon die Funktionsgleichung, die das Wachstum der Bakterien beschreibt.
Funktion für Expotentiellen Zerfall
$$
\begin{align}
1-\frac{\%}{100}
\end{align}$$
Rechnerisch:
Aufgabenstellung
Bestimmen sie die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Zerfallsprozesses von Nervenzellen in einem Gehirn. Beim beginn der Aufzeichnung sind im Gehirn 1.000.000 Nervenzellen vorhanden. Doch schon 5 Tage nach Aufzeichnungsbeginn sind nur noch 800.000 Nervenzellen übrig.
Als erstes listet man sich alle Informationen auf, die man der Aufgabenstellung entnehmen kann:
$$
\begin{align}
P_{1}(0|1000000) \\ \\
P_{2}(5|800000)
\end{align}
$$
Jetzt kann man die Informationen in die allgemeine Funktionsgleichung eintragen:
$$
\begin{align}
f(x)&=a\cdot b^{x} &&|P_{1}\text{ eintragen} \\
1000000&=a\cdot b^{0} \\
1000000&=a \\ \\
g(x)&=a\cdot b^{x} &&|P_{2}\text{ eintragen} \\
800000&=a\cdot b^{5} \\
\end{align}
$$
Jetzt kann man einfach die Gleichungen in einander Einsetzen, sodass eine Variable wegfällt:
$$
\begin{align}
800000&=a\cdot b^{5} &&|a=1000000\\
800000&=1000000\cdot b^{5} &&|\div 1000000\\
0,8&=b^{5} &&|\sqrt[5]{\ } \\
0,96&=b
\end{align}
$$
Und nun hat man alle Werte um sie in die allgemeine Funktionsgleichung einzutragen:
$$
\begin{align}
f(x)&=a\cdot b^{x} \\
f(x)&=1000000\cdot 0,96^{x}
\end{align}
$$
Und das ist auch schon die Funktion, die Gesucht wurde um den Zerfallsprozess von Nervenzellen in einem Gehirn zu beschreiben.