Funktionsgleichung Bestimmen

Die Funktionsgleichung kann man auf zwei Wege bestimmen:

Im Kopf: (DAS hier ist ein TTEASTST)

Aufgabenstellung
Bestimmen sie die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Wachstumsprozesses einer Bakterienprobe. Es herrscht ein Anfangsbestand von 200 Bakterien, welche sich stündlich um 20% vermehren.

Jetzt kann man zusammentragen, was man über die Funktionsgleichung weiß:

• Anfangsbestand ($a$) = 200
• Wachstumsfaktor ($b$) = ?

Den Wachstumsfaktor kann man mit folgender Formel errechnen:
$$\begin{align}1+\frac{\%}{100}\end{align}$$
Das bedeutet unser Wachstumsfaktor wäre hier $1+\frac{20}{100}$, also $1,2$. Nun kann man das alles in die allgemeine Funktionsgleichung eintragen:

$$\begin{align}f(x)&=a\cdot b^{x} &&|\text{Werte eintragen} \\ \\f(x)&=200\cdot 1,2^{x}\end{align}$$
Und das ist auch schon die Funktionsgleichung, die das Wachstum der Bakterien beschreibt.

Funktion für Expotentiellen Zerfall
$$\begin{align}1-\frac{\%}{100}\end{align}$$

Rechnerisch:

Aufgabenstellung
Bestimmen sie die Funktionsgleichung zur Beschreibung des Zerfallsprozesses von Nervenzellen in einem Gehirn. Beim beginn der Aufzeichnung sind im Gehirn 1.000.000 Nervenzellen vorhanden. Doch schon 5 Tage nach Aufzeichnungsbeginn sind nur noch 800.000 Nervenzellen übrig.

Als erstes listet man sich alle Informationen auf, die man der Aufgabenstellung entnehmen kann:
$$\begin{align}P_{1}(0|1000000) \\ \\P_{2}(5|800000)\end{align}$$
Jetzt kann man die Informationen in die allgemeine Funktionsgleichung eintragen:
$$\begin{align}f(x)&=a\cdot b^{x} &&|P_{1}\text{ eintragen} \\ 1000000&=a\cdot b^{0} \\ 1000000&=a \\ \\g(x)&=a\cdot b^{x} &&|P_{2}\text{ eintragen} \\ 800000&=a\cdot b^{5} \\ \end{align}$$
Jetzt kann man einfach die Gleichungen in einander Einsetzen, sodass eine Variable wegfällt:
$$\begin{align}800000&=a\cdot b^{5} &&|a=1000000\\ 800000&=1000000\cdot b^{5} &&|\div 1000000\\0,8&=b^{5} &&|\sqrt[5]{\ } \\0,96&=b\end{align}$$
Und nun hat man alle Werte um sie in die allgemeine Funktionsgleichung einzutragen:
$$\begin{align}f(x)&=a\cdot b^{x} \\f(x)&=1000000\cdot 0,96^{x}\end{align}$$
Und das ist auch schon die Funktion, die Gesucht wurde um den Zerfallsprozess von Nervenzellen in einem Gehirn zu beschreiben.