Test

Aufgabenstellung
Gegeben ist $E:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$, bringen Sie $E$ in die Normalengleichung.

Die allgemeine Form der Normalengleichung ist $E:\left(\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OP}\right)\cdot \vec{n}=0$. Daraus kann man schlussfolgern, das man "nur" einen Punkt auf der Ebene ($\overrightarrow{OP}$) und den Normalenvektor benötigt um die Gleichung aufzustellen. Den Punkt auf der Ebene herauszufinden ist kein schwieriges Unterfangen, da der Stützvektor der Parametergleichung bereits auf der Ebene liegt:
$$
\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\overrightarrow{OP}
$$
Nun fehlt noch der Normalenvektor, welcher so aufgebaut ist: $\left(\begin{array}{c} n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3} \end{array}\right)$. Was man vielleicht noch weiß ist, dass ein Normalenvektor so definiert wird:
$$
\begin{align}
\vec{a}\cdot \vec{n}&=0 \\
\vec{b}\cdot \vec{n}&=0
\end{align}
$$
Und das kann man sich zu nutze machen in dem man damit ein LGS aufstellt. Die beiden Vektoren, die Orthogonal zu dem Normalenvektor sind, sind unsere beiden Richtungsvektoren $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right)\& \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)$, was in der Definition des Normalenvektors dann $\vec{a}\ \&\ \vec{b}$ wäre. Nun kann man einfach das einfach ausmultiplizieren (**Aufpassen** das ist ein Skalarprodukt) und in ein LGS packen:
$$
\begin{alignat}{3}
\text{I:}&\quad &2n_{1}+4n_{3}&=0 \\
\text{II:}&\quad &3n_{1}+2n_{2}+2n_{3}&=0 \\ \\
\text{I:}&\quad &2n_{1}+4n_{3}&=0\\
-1\cdot\text{II:}&\quad &\underline{-3n_{1}-2n_{2}-2n_{3}}&=\underline{0}\\
\text{III:}&\quad &-n_{1}-2n_{2}+2n_{3}&=0 \\ \\
3\cdot\text{III:}&\quad &-3n_{1}-6n_{2}+6n_{3}&=0 \\
\text{II:}&\quad &\underline{3n_{1}+2n_{2}+2n_{3}}&=\underline{0} \\
\text{IV:}&\quad &-4n_{2}+8n_{3}&=0 \quad\quad|\text{Sei }n_{3}=1 \\
&&-4n_{2}+8&=0\quad\quad|-8 \\
&&-4n_{2}&=-8\ \quad|\div{(-4)} \\
&&n_{2}&=2 \\ \\
n_{2}\text{ in IV:}&\quad &-4\cdot 2+8n_{3}&=0\quad\quad|+8 \\
&&8n_{3}&=8\quad\quad|\div{8}\\
&&n_{3}&=1 \\ \\
n_{3}\text{ in I:}&\quad&2n_{1}+4&=0\quad\quad|-4 \\
&&2n_{1}&=-4\ \quad|\div{2} \\
&&n_{1}&=-2
\end{alignat}
$$
Theoretisch ist man hier schon fertig, allerdings muss man noch einmal ein kurze Probe durchführen, da man hier ein unterbestimmtes LGS hat:
$$
\begin{align}
n_{1}, n_{2}, n_{3} \text{ in II:}\quad3\cdot(-2)+2\cdot 2+2=0 
\end{align}
$$
Da das eine Wahre aussage ist, wurden alle Variablen korrekt berechnet. Nun kann man sie zu einem Normalenvektor zusammensetzen und die Gleichung bilden:
$$
\begin{align}
\vec{n}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) \\ \\
E&:\left(\overrightarrow{OX}-\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)=0
\end{align}
$$